Cuando escribí la Hija del Profeso, un editor me preguntó si consideraba mi novela como histórica o fantástica. Le contesté que sin lugar a dudas se trataba de una novela histórica. Por esto intentaré desvelar el enigma de Drácula utilizando razonamientos lógicos.
A. EN TRANSILVANIA
A pesar de lo que tanto Bram Stoker como yo os he contado, tengo graves razones para dudar de que el Conde Drácula hubiese sido alguna vez efectivamente aniquilado. Por lo tanto decidí ir a Transilvania para investigar la verdad por mí mismo. Mis propósitos eran: (1) averiguar si el Conde Drácula vivía aún; (2) en el caso de que hubiera sido aniquilado deseaba ver sus verdaderos restos; (3) en el caso de que viviese aún, deseaba tener un encuentro con él. En la época en que estuve en Transilvania aproximadamente la mitad de sus habitantes eran humanos y la mitad eran vampiros. Los humanos y los vampiros son indistinguibles en su apariencia externa, pero los humanos (al menos en Transilvania) dicen siempre la verdad, mientras que los vampiros mienten siempre. Lo que complica enormemente la situación es que la mitad de los habitantes de Transilvania están totalmente locos y completamente engañados por lo que respecta a sus creencias ----creen que todas las proposiciones verdaderas son falsas y que todas las proposiciones falsas son verdaderas. La otra mitad está completamente cuerda y sabe qué proposiciones son verdaderas y qué proposiciones son falsas. Así pues, los habitantes de Transilvania son de cuatro tipos: (1) humanos cuerdos; (2) humanos locos; (3) vampiros cuerdos, y (4) vampiros locos. Todo lo que un humano cuerdo dice es verdadero; todo lo que un humano loco dice es falso; todo lo que un vampiro cuerdo dice es falso, y todo lo que un vampiro loco dice es verdadero. Por ejemplo, un humano cuerdo dirá que dos más dos es igual a cuatro; un humano loco dirá que no es igual a cuatro (puesto que él cree realmente que no lo es); un vampiro cuerdo dirá también que no es igual a cuatro (puesto que él sabe que es igual a cuatro y por tanto miente), y un vampiro loco dirá que es igual a cuatro (puesto que él cree que no es igual a cuatro y, por lo tanto, miente sobre lo que él cree).
1. Me encontré un día con un transilvano que dijo: «Soy humano o estoy cuerdo.» ¿De qué tipo era exactamente?
2. Otro habitante dijo: «No soy un humano cuerdo.» ¿De qué tipo era?
3. Otro habitante dijo: «Soy un humano loco.» ¿Es éste del mismo tipo que el anterior habitante?
4. Me encontré una vez un habitante y le pregunté: « ¿Eres un vampiro loco?» Él respondió: «Sí» o «No», y supe de qué tipo era. ¿De qué tipo era?
5. Me encontré una vez un transilvano que dijo: «Soy un vampiro.» ¿Puede inferirse si es humano o vampiro? ¿Puede inferirse si está cuerdo?
6. Supóngase que un transilvano dice: «Estoy loco.»
(a) ¿Puede inferirse si está cuerdo?
(b) ¿Puede inferirse si es humano o vampiro?
7. La inversa de un enunciado: «Si P entonces Q» es el enunciado «Si Q entonces P». Ahora bien, existen dos enunciados X e Y que son inversos mutuamente y tales que:
(1) Ninguno de los dos enunciados es deducible del otro.
(2) Si un transilvano hace cualquiera de los dos enunciados
se sigue que el otro debe ser verdadero.
¿Puedes proporcionar estos dos enunciados?
8. Dado un enunciado X, supóngase que un transilvano cree que él cree X. ¿Se sigue que X ha de ser verdadero? Supóngase que él no cree que cree X. ¿Se sigue que X ha de ser falso?
9. Supóngase que un transilvano dice: «Yo creo x.» Si es humano, ¿se sigue que X tiene que ser verdadero? Si es vampiro, ¿se sigue que X tiene que ser falso? ¡La respuesta a este problema constituye un principio general importante!
10. Me encontré una vez con dos transilvanos, A y B. Pregunté a A: « ¿Es B humano?» A replicó: «Eso creo.» Entonces pregunté a B: « ¿Crees que A es humano?» ¿Qué respuesta dio B (suponiendo que respondió «Sí» o «No»)?
11. Definamos a un transilvano como formal si es humano cuerdo o un vampiro loco y como informal si es un humano loco o un vampiro cuerdo. La gente formal es aquella que hace enunciados verdaderos; la gente informal es aquella que hace enunciados falsos (ya sea sin malicia o por engaño). Supongamos que preguntas a un transilvano: « ¿Eres formal?» y él te da un «Sí» o un «No» como respuesta. ¿Puedes determinar a partir de esta respuesta si él es o no un vampiro? ¿Puedes determinar si él está cuerdo?
12. Supongamos, en lugar de eso, que le preguntas: « ¿Crees que eres formal?» Él te da un «Sí» o un «No» como respuesta. ¿Puedes determinar ahora si él es un vampiro? ¿Puedes determinar si él está cuerdo?
B. ¿VIVE AÚN EL CONDE DRÁCULA?
13. Recordemos que la primera cuestión importante que deseaba resolver era la de si el Conde Drácula vivía aún. Bien, pregunté a un transilvano sobre el asunto y dijo: «Si yo soy humano, entonces el Conde Drácula vive aún.» ¿Puede determinarse si Drácula vive aún?
14. Otro transilvano dijo: «Si estoy cuerdo, entonces el Conde Drácula vive aún.» ¿Puede determinarse si Drácula vive aún?
15. Otro dijo: «Si soy un humano cuerdo, ¿entonces el Conde Drácula vive aún»? ¿Puede determinarse si Drácula vive?
16. Supóngase que un transilvano ha dicho: «Si yo soy un humano cuerdo o un vampiro loco, entonces el Conde Drácula vive aún» ¿Podría determinarse entonces si Drácula vive aún?
17. ¿Hay algún enunciado, que un transilvano pudiera hacer, y que te convenciese de que Drácula vive aún y también de que el enunciado es falso?
18. ¿Hay algún enunciado, que un transilvano pudiera hacer, tal que te convenciese de que Drácula vive aún y del cual no pudieses decir si el enunciado es verdadero o falso?
19. Supóngase que un transilvano hace los dos enunciados siguientes:
(1) Estoy cuerdo.
(2) Creo que el Conde Drácula está muerto.
¿Podría inferirse si Drácula vive?
20. Supóngase que un transilvano hace los dos enunciados siguientes:
(1) Soy humano.
(2) Si soy humano entonces el Conde Drácula vive aún.
¿Podría determinarse si Drácula vive aún?
C. ¿QUÉ PREGUNTA DEBE HACERSE?
21. ¿Puedes con una pregunta obtener información de un transilvano sobre si él es o no un vampiro?
22. ¿Puedes con una pregunta obtener información de un transilvano sobre si él está o no cuerdo?
23. ¿Qué pregunta podrías hacerle a un transilvano que le forzase a responder «Sí», independientemente de a cuál de los cuatro tipos pertenezca?
24. ¿Puedes con una pregunta obtener información de un transilvano sobre si el Conde Drácula vive aún?
D. EN EL CASTILLO DE DRÁCULA
Si hubiera tenido ojo y me hubiera dado cuenta de la respuesta al último problema me hubiera evitado un sinfín de desgracias. Pero estaba entonces tan aturullado, tan aturdido por esta clasificación entrecruzada de cuerdos y locos sobrepuesta a la de los que mienten y dicen verdad, que no podía pensar correctamente. Además, estaba un poco nervioso al estar en compañía de transilvanos, algunos de los cuales eran vampiros. ¡Y, con todo, me esperaba aún una situación más desconcertante! Aún no sabía si el Conde Drácula estaba vivo. Me parecía que solamente podría encontrar la respuesta si podía llegar al Castillo de Drácula. Por aquel entonces bien poco me daba cuenta de que esto, por razones que más adelante descubrirás, solamente complicaría el asunto. Sabía perfectamente dónde está el Castillo de Drácula y sabía que allí había mucha actividad. Sabía también que el castillo tenía un anfitrión, pero no sabía si este anfitrión era el Conde Drácula (dejando de lado la cuestión de si Drácula estaba aún vivo). Ahora bien, la admisión en el Castillo de Drácula era solamente mediante invitación, y las invitaciones se daban solamente a la flor y nata de la sociedad transilvana. Por lo tanto tuve que invertir varios meses de ardua escalada social antes de que me encontrase en una posición lo suficientemente elevada para ser invitado. El día llegó finalmente y recibí una invitación para asistir a una fiesta de varios días y noches de duración en el Castillo de Drácula.
Fui con grandes esperanzas y en seguida recibí mi primer chasco. Poco tiempo después de entrar en el castillo, me di cuenta de que había olvidado coger, en medio de mi apresuramiento, mi cepillo de dientes, un ajedrez de bolsillo y algún material de lectura. Así pues, me dispuse a dirigirme hacia la puerta para volver a mi hotel, pero fui interceptado por un transilvano fortachón y de aspecto brutal que me dijo educadamente, pero con gran firmeza, que una vez que una persona entra en el Castillo de Drácula, no puede en ningún caso abandonarlo sin permiso del anfitrión. «Entonces», dije yo, «me gustaría hablar con el anfitrión». «Por ahora esto es, absolutamente imposible», me informó, «pero yo puedo recoger un mensaje para él, si usted quiere». Bien, envié al anfitrión un mensaje preguntándole si podía abandonar el castillo durante un momento. La respuesta llegó rápidamente; era breve y además nada tranquilizadora. Decía: «Naturalmente, No.»
En consecuencia, estaba prisionero en el Castillo del Conde Drácula. Bien, ¿qué podría hacer yo? Obviamente, por el momento nada; así, a la manera realmente propia del Zen, decidí disfrutar de la noche en aquello que merecía la pena y entrar en acción en cuanto la primera oportunidad se presentase. El baile de aquella noche fue lo más magnífico que haya visto o leído alguna vez. Hacia las dos de la mañana decidí retirarme y se me mostró mi habitación. Asombrosamente, a pesar del infinito peligro en el que estaba, dormí profundamente. Me desperté hacia el mediodía del día siguiente y, después de una buena comida, me mezclé con los huéspedes, esperando obtener más información. Entonces recibí mi segunda sorpresa. Toda la gente (excepto yo mismo) pertenecía a un pequeño subgrupo de transilvanos de élite que en lugar de usar las palabras «Sí» y «No», usaban las palabras «Bal» y «Da» -¡precisamente del mismo modo que en la isla de los zombis! Así pues, me encontraba metido en una situación rodeado de los denominados «transilvanos de élite», cada uno de los cuales era o humano o vampiro, estaba loco o estaba cuerdo y, para remachar todo esto, no sabía lo que significaban las palabras «Bal» y «Da». De este modo las complejidades de los primeros transilvanos no pertenecientes a la «élite» a los que había interrogado fuera del castillo se combinaban con las complejidades de la isla de los zombis. Parecía que con mi llegada al castillo había pasado de Guatemala a Guatapeor.
Bien, al darme cuenta de esto, temo que perdí toda mi compostura propia del Zen y estuve absolutamente deprimido durante el resto del día. Me retiré temprano, sin preocuparme tan siquiera por ver la segunda noche de fiestas. Me encontraba rendido, incapaz de dormir o de pensar. Entonces, de repente, me sobresalté. Me di cuenta de que las nuevas complicaciones Bal-Da eran en realidad fácilmente manejables. Emocionadamente, tomé mi pluma y mi cuaderno de notas y comencé de inmediato a resolver los problemas siguientes:
25. Con una pregunta (susceptible de ser respondida por «Bal» o «Da») podía averiguar de alguien del castillo si era o no vampiro.
26. Con una pregunta podía averiguar SI estaba cuerdo.
27. Con una pregunta podía averiguar lo que significaba «Bal».
28. Si lo desease podría plantear a cualquiera del castillo una pregunta tal que le forzase a responder «Bal».
29. ¡Con una pregunta podía averiguar si Drácula vive! ¿Cuáles son esas preguntas?
E. EL ENIGMA DE DRÁCULA
¡Llegamos ahora al punto culminante! Al día siguiente obtuve toda la información que deseaba. Drácula estaba realmente vivo y era, de hecho, mi anfitrión. Ante mi sorpresa, averigüé también que Drácula era un vampiro loco y, por lo tanto, todo enunciado que él hacía era verdadero. Pero, ¿de qué me servía saber esto, ahora que estaba a merced del destino y corría el riesgo de ser convertido en un vampiro y perder mi alma para siempre? Después de algunos días concluyeron los festejos y se permitió marchar a todos los huéspedes excepto a mí. De modo que, virtualmente solo en lo que ahora era un lúgubre y macabro castillo, era prisionero de un anfitrión con el que hasta ahora no había tenido ningún contacto.No tuve que esperar mucho tiempo. Poco antes de medianoche se me sacó groseramente de un sueño profundo y fui escoltado, de manera educada pero firme, a las habitaciones privadas del Conde Drácula que, evidentemente, había solicitado tener una entrevista conmigo. Mi guía marchó y he aquí que me encontré frente al mismísimo Conde Drácula. Después de lo que me pareció una eternidad de silencio, Drácula dijo:
«¿Sabe usted que yo siempre doy a mis víctimas alguna posibilidad de escapar?»
«No», respondí sinceramente, «no sabía esto».
«Oh», replicó Drácula, «realmente no podría pensar en privarme de este gran placer».
Por alguna razón, no acabó de gustarme el tono de voz con el que dijo esto: tenía un cierto sabor a arrogancia.
«Usted verá», continuó Drácula, «yo le planteo a mi víctima un enigma. Si en un cuarto de hora adivina correctamente la respuesta, lo dejo en libertad. Si no logra adivinarla, o si la adivina mal, le ataco y se convierte en un vampiro para siempre.
«¿En un vampiro cuerdo o en uno loco?», pregunté yo inocentemente.
Drácula se volvió lívido de rabia. «Sus chistes no tienen ninguna gracia», gritó. « ¿Se da usted cuenta completamente de la gravedad de la situación? No suelo estar de humor para bromas frívolas. Alguna cosa más de este tipo y no le daré ni siquiera la oportunidad usual.»
Asustado a medida que iba diciendo todo esto, mi reacción inmediata fue ante todo de curiosidad respecto al hecho de por qué Drácula estaría dispuesto a arriesgarse a perder una víctima. « ¿Qué es lo que le mueve a esta generosidad deportiva?», le pregunté.
«¿Generosidad?», dijo Drácula con un aire desdeñoso. «No tengo ni un solo átomo de generosidad en mi cuerpo. Se trata solamente de que el enorme placer sádico que obtengo al observar a mi víctima retorcerse, escribir, convulsionarse bajo esta angustiosa gimnasia mental, compense con creces la posibilidad infinitesimal de que la pierda.
Esta palabra «infinitesimal» no era demasiado consoladora, que digamos.
«Oh sí», continuó Drácula, «jamás hasta ahora he perdido una víctima; como usted verá, no estoy corriendo demasiado riesgo».
«Muy bien», dije, dándome a mí mismo ánimos de la mejor manera que pude, « ¿en qué consiste el enigma?».
30. Dracula me miró examinándome durante algún tiempo. «Sus preguntas a mis huéspedes eran muy inteligentes -sí, sí, lo sé todo sobre ellas. Realmente eran muy inteligentes, pero no tan inteligentes como usted podría pensar. Usted tenía que haber diseñado una pregunta separada para cada fragmento de información que deseaba obtener; usted no dio nunca con un principio simple y unificador que le hubiera evitado a usted mucho trabajo mental. Existe una oración O que tiene la propiedad casi mágica de que, dada cualquier información que usted desee saber, dada cualquier oración X cuya verdad usted desee averiguar, todo lo que usted tiene que hacer es preguntar a cualquiera que esté en este castillo: "¿Es O equivalente a X?". Si usted obtiene como respuesta "Bal", X tiene que ser verdadera; si usted obtiene "Da" como respuesta, X tiene que ser falsa. Así, por ejemplo, si usted desease averiguar si el hablante es un vampiro, tendría que preguntar: "¿Es O verdadera si y sólo si usted es un vampiro?" Si usted desease averiguar si está cuerdo, no tendría que preguntar más que: "¿Es O verdadera si y sólo si usted está cuerdo?" Para haber averiguado lo que significa "Bal", usted sólo habrá tenido que preguntar: "¿Es O verdadera si y sólo si 'Bal' significa sí?" Para averiguar si yo vivía aún, usted podría haber preguntado: "¿Es O verdadera si y sólo si Drácula vive aún?", etc.»
« ¿Cuál es esa oración O?», pregunté yo con enorme curiosidad. «Ah», replicó Drácula, «es asunto suyo el averiguarlo. ¡Este es su enigma!».
Al decir esto Drácula se puso en pie para abandonar la habitación. «Tiene usted quince minutos. Haría bien en discurrir con ahínco. Los riesgos son muy elevados.»
¡Verdaderamente eran muy elevados! Aquellos fueron los quince minutos más penosos de mi vida. Estaba tan paralizado por el miedo que tenía la mente en blanco. Estaba seguro de que Drácula me estaba observando secretamente desde algún lugar oculto. Cuando habían transcurrido los quince minutos Drácula volvió triunfantemente y comenzó a revolotear a mí alrededor con los colmillos hechos agua. Se me fue
acercando más y más, hasta que le tuve prácticamente encima. Entonces de repente levanté la mano y grité:
«Naturalmente, la oración O es... » ¿Cuál es la oración O que me salvó?
Epílogo
El shock recibido por el pobre Drácula ante el hecho de que yo hubiese resuelto su enigma fue tan grande que pereció en el acto, y pocos minutos después se desintegró convertido en ceniza. Ahora cuando alguien me pregunta, « ¿Vive aún el Conde Drácula?», puedo responder veraz y adecuadamente: «Bal.»
31. Existen cuatro inconsistencias menores en esta historia. ¿Podrías detectarlas?
SOLUCIONES
1. Su enunciado es o verdadero o falso. Supongamos que es falso. Entonces no es ni humano ni está cuerdo; por lo tanto tiene que ser un vampiro loco. Pero los vampiros locos hacen solamente enunciados verdaderos, y tenemos una contradicción. Por lo tanto, su enunciado es verdadero. Los únicos que hacen enunciados verdaderos son los humanos cuerdos o los vampiros locos. Si él fuese un vampiro loco, entonces tendría que ser o humano o cuerdo, y su enunciado sería falso. Pero sabemos que el enunciado es verdadero. Por lo tanto tiene que ser un humano cuerdo.
2. Tiene que ser un vampiro loco.
3. No, esta vez es un vampiro cuerdo.
4. Un humano cuerdo respondería «No» a esta pregunta, y cualquiera de los otros tres tipos respondería «Sí». Si hubiese obtenido como respuesta «Sí», no sabría de qué tipo era. Pero he dicho que lo supe, por lo tanto no respondió «Sí». De este modo él respondió «No», de donde se sigue que tiene que ser un humano sano.
5. No puede inferirse si es humano o vampiro, pero se sigue que está loco. Un humano cuerdo no diría que es un vampiro y un vampiro cuerdo sabría que es un vampiro y entonces mentiría y diría que es humano. Por otra parte, un humano loco creería, y por lo tanto diría, que es un vampiro, y un vampiro loco creería que era humano y entonces diría que es un vampiro.
6. Esta vez todo lo que se sigue es que él es un vampiro. Un humano cuerdo no podría decir que está loco, y un humano loco creería que está cuerdo y, al ser humano, no podría decir que está loco.
7. Estoy seguro de que pueden encontrarse muchos pares de enunciados de este tipo; el par que tengo presente es éste:
X: Si estoy cuerdo, entonces soy humano.
Y: Si soy humano, entonces estoy cuerdo.
Supongamos que el hablante asevera X. Demostraremos que Y tiene que ser verdadero, esto es, que si es humano, entonces está cuerdo. Bien, supongamos que es humano. Entonces es verdad que si está cuerdo entonces es humano (puesto que es humano, punto). Esto significa que X es verdadero. Entonces el hablante ha de estar cuerdo, puesto que los humanos locos no hacen enunciados verdaderos. Por lo tanto, si es humano, está cuerdo; de donde Y es verdadero. Inversamente, supongamos que el hablante asevera Y. Hemos de mostrar que X es verdadero. Bien, supongamos que está cuerdo. Entonces Y ha de ser verdadero. De aquí se sigue que el hablante es humano (puesto que los vampiros cuerdos no hacen enunciados verdaderos). De este modo, es humano (bajo la suposición de que está cuerdo). Por lo tanto si está cuerdo entonces es humano y así el enunciado X es verdadero.
8. La respuesta a ambas preguntas es «Sí». Supongamos que un transilvano cree un cierto enunciado X. Entonces, desde luego, no se sigue que X tenga que ser verdadero, puesto que puede estar loco. Pero si cree que cree X, entonces X tiene que ser verdadero. Pues supongamos por un lado que está cuerdo. Puesto que cree el enunciado de que cree que X, entonces el enunciado de que cree que X tiene que ser verdadero. Por lo tanto cree de hecho que X; y, puesto que está cuerdo, X tiene que ser verdadero. Supongamos por otro lado que él está loco. Puesto que él cree el enunciado de que él cree que X, entonces el enunciado de que él cree que X tiene que ser falso. Por lo tanto no cree realmente que X (solamente piense que lo cree). Puesto que no cree que X, y está loco, entonces de nuevo X tiene que ser verdadero. Así pues, hemos mostrado que si un transilvano cree que cree X, entonces X tiene que ser verdadero independientemente de si está cuerdo o loco. Similarmente puede mostrarse que si no cree que él cree que X, entonces X tiene que ser falso. Dejamos esto para el lector.
9. De nuevo ambas respuestas son «Sí» --esto es un corolario de la solución al problema precedente. Supongamos que A asevera que cree que X. Supongamos que A es humano. Entonces cree lo que asevera, de modo que cree que X. Entonces, como hemos visto en la solución al problema 174, X tiene que ser verdadero, esté A cuerdo o loco. Similarmente, supongamos que A es un vampiro. Entonces no cree lo que asevera, de modo que no cree que cree que X. Así, X tiene que ser falso, esté A cuerdo o loco.
10. A asevera que cree que B es humano. B asevera o que cree que A es humano, o asevera que cree que A no es humano. Si lo último fuera el caso, obtendríamos la contradicción siguiente. Tenemos:
(1) A dice que cree que B es humano.
(2) B dice que cree que A no es humano.
Supongamos que A es humano. Por lo tanto es una contradicción el que A es humano. Supongamos que A es un vampiro. Entonces a partir de (1), B no es humano (por el mismo principio), de modo que B es un vampiro. Entonces a partir de (2) se sigue (por el mismo principio) que A es humano. Esto es de nuevo una contradicción. Por lo tanto, si B hubiese respondido «No» tendríamos una contra- dicción. Por lo tanto B respondió «Sí».
11. No puede inferirse nada en absoluto, puesto que todos los transilvanos responderán «Sí» a esta pregunta. El lector puede comprobar esto por sí mismo.
12. Este es un caso diferente; a partir de la respuesta no puede inferirse si el hablante es humano o vampiro, pero puede inferirse si está cuerdo. Si está cuerdo, entonces responderá «Sí»; si está loco entonces responderá «No». Dejamos la demostración al lector.
13. No, no puede determinarse. Podría suceder que él fuese un humano cuerdo y que Drácula viviese, o podría suceder que fuese un vampiro loco y Drácula estuviese muerto. (De hecho, si es un vampiro loco, entonces Drácula podría estar vivo o muerto.)
14. De nuevo la respuesta es «No».
15. La respuesta es todavía «No». Él podría ser, por ejemplo, un vampiro loco, en cuyo caso Drácula podría estar o no vivo.
16. Sí, esta vez se seguiría que Drácula está vivo. Usemos la terminología del problema 177 y reformulemos el enunciado del nativo de la siguiente manera: «Si soy formal entonces Drácula vive.» Hemos demostrado en el capítulo 8 (véanse las soluciones a los problemas 109-112) que si un nativo de una isla de caballeros y escuderos dice: «Si yo soy un caballero entonces tal y tal», entonces el hablante tiene que ser un caballero y el tal y tal tiene que ser verdadero. Similarmente, si un habitante de Transilvania dice, «Si yo soy formal entonces tal y tal», entonces tiene que ser formal y el tal y tal tiene que ser verdadero. La demostración es realmente la misma -solamente hay que sustituir la expresión «un caballero» por «formal».
17. Un enunciado que funcionaria es: «Yo soy informal y Drácula está muerto.» Dejamos la demostración al lector. (Consejo: poner primero de manifiesto que el hablante no es formal.)
18. Una oración que hace esto es la siguiente: «Yo soy formal si y sólo si Drácula vive aún.» En la solución al problema 122 del capítulo 8 demostramos que si un habitante de una isla de caballeros y escuderos dice: «Yo soy un caballero si y sólo si tal-y-tal», entonces el tal-y-tal tiene que ser verdadero (pero no es posible decir si el hablante es caballero o escudero). Similarmente, si un transilvano dice: «Yo soy formal si y sólo si tal-y-tal», entonces el tal-y-tal tiene que ser verdadero independientemente de si el hablante es formal o no. La demostración es realmente la misma -solamente hay que sustituir «caballero» por «formal». Existen varios enunciados distintos que también funcionarían. Por ejemplo: «Creo que el enunciado de que Drácula vive es equivalente al enunciado de que yo soy humano.» Otro ejemplo, más bien divertido sería: «Creo que si alguien me preguntase si Drácula vive aún, entonces respondería "Si".»
19. Sí, se seguiría que Drácula tiene que estar muerto. A partir de (1) podemos inferir que el hablante es humano, puesto que un vampiro cuerdo sabría que está cuerdo y por 10 tanto dice que está loco, y un vampiro loco creería que está cuerdo y entonces diría que está loco. Por lo tanto el hablante es humano. Recordemos el principio establecido en el problema 175: cuando un humano dice que él cree algo, entonces ese algo tiene que ser verdadero (independientemente de si está cuerdo o está loco). Bien, nosotros sabemos que el hablante es humano y que dice que cree que Drácula está muerto. Por 10 tanto el Conde Drácula tiene que estar muerto.
20. A partir de su primer enunciado «Yo soy humano», se sigue, no que él sea humano, sino que tiene que estar cuerdo. (Un humano loco no sabría que él era humano, y un vampiro loco pensaría que es humano y, por lo tanto, diría que es un vampiro.) Ahora que sabemos que está cuerdo, vamos a demostrar que es humano. Supongamos que él fuese un vampiro. Entonces es falso que es un humano, y puesto que un enunciado falso implica cualquier enunciado, entonces su segundo enunciado -«Si soy humano entonces Drácula vive aún»- tendrá que ser verdadero. Pero un vampiro cuerdo no puede hacer enunciados verdaderos, de modo que tenemos una contradicción. Por lo tanto no puede ser un vampiro; tiene que ser un humano. Ahora sabemos que él es, a la vez, humano y cuerdo, de modo que hace enunciados verdaderos. Por lo tanto, su segundo enunciado, a saber: que si él es humano entonces el Conde Drácula vive aún, tiene que ser verdadero. Pero él es humano. Por lo tanto Drácula vive aún.
21. Pregúntale solamente si está cuerdo. Un humano (esté cuerdo o no) responderá «Sí» y un vampiro responderá «No».
22. Pregúntale solamente si es humano. Un transilvano sano (sea humano o vampiro) dirá «Sí» y un transilvano loco dirá «No». Para el puñado de problemas siguientes diré sólo cuáles son las preguntas. En este momento debes tener la suficiente experiencia para ser capaz de demostrar por ti mismo que esas preguntas valen para tus propósitos.
23. Una pregunta que vale es: « ¿Cree usted que es humano»? Todos los transilvanos tienen que responder «SÍ)) a esta pregunta. No se trata de que todos ellos crean que son humanos (sólo los humanos cuerdos y los vampiros locos creen esto), sino que todos los nativos dirán que lo creen. Otra pregunta que valdría es: « ¿Es usted formal?» Todos los transilvanos afirmarían que son formales.
24. Cualquiera de estas dos preguntas valdría:
(1) « ¿El enunciado de que usted es formal es equivalente al enunciado de que Drácula está vivo?»
(2) « ¿Cree usted que el enunciado de que usted es humano es equivalente al enunciado de que Drácula está vivo?»
25. Pregúntale: « ¿La respuesta correcta a la pregunta de si usted está cuerdo es "Bal"?» Si contesta «Bal» entonces es humano; si responde «Da», entonces es vampiro.
26. Pregúntale: « ¿La respuesta correcta a la pregunta sobre si usted es humano es "Bal"?» Si él responde «Bal», entonces' está cuerdo; si responde «Da», entonces está loco.
27. Pregúntale: « ¿Cree usted que es humano?» Sea cual sea la palabra que él responda tiene que significar sí. Alternativamente, pregúntale: « ¿Es usted formal?»
28. Una pregunta que funcionaría es: « ¿Es "Bal" la respuesta correcta a la pregunta de si usted es formal?» (Recuerdo que ser formal significa ser o un humano sano o un vampiro loco.) Otra pregunta que funciona: « ¿Es usted formal si y sólo si "Bal" significa si?» Cualquiera de estas preguntas forzará a responder con un «Bal», como puede demostrarse esencialmente de la misma manera que en el problema 161 del capítulo 11 (excepto en que ser formal juega ahora el papel jugado por ser humano).
29. Cualquiera de las siguientes preguntas realizará la tarea.
(1) ¿Cree usted que «Bal» es la respuesta correcta a la pregunta de si el enunciado de que usted es humano es equivalente al enunciado de que Drácula está vivo?
(2) ¿, Es «Bal» la respuesta correcta a la pregunta de si el enunciado de que usted es formal es equivalente al enunciado de que Drácula está vivo?
Una solución mucho más simple y más elegante es la proporcionada por el principio unificador que se explica en el número 30.
30. EL PRINCIPIO UNIFICADOR
Definamos un transilvano de élite de tal modo que sea del tipo 1 si responde «Bal» a la pregunta: « ¿Es 2 más 2 igual a 4?» Esto significa, naturalmente, que dada cualquier otra pregunta cuya respuesta correcta sea «Sí», un transilvano del tipo 1 responderá «Bal» a esta pregunta. Definiremos un transilvano de élite de tal modo que sea del tipo 2 si no es del tipo 1. Esto significa que dado cualquier enunciado verdadero X (como 2 más 2 igual a cuatro), si se le pregunta a un transilvano del tipo 2 si X es verdadero, éste responderá «Da». Observemos inmediatamente que si «Bal» significa sí, entonces las personas del tipo 1 son aquellas que son formales, y las personas del tipo 2 son aquellas que son informales. Si «Bal» significa no, entonces tenemos lo contrario (tipo 1 = informal y tipo 2 = formal). Ahora bien, el principio unificador es éste: para averiguar respecto de un enunciado X dado si X es verdadero, sólo tienes que preguntar a un transilvano de élite si X es equivalente al enunciado de que él (el transilvano al que le preguntas) es del tipo 1. Puedes parafrasear tu pregunta de la siguiente manera: « ¿Es X verdadero si y sólo si usted es del tipo l?» Demostraremos que si él responde «Bal», entonces X tiene que ser verdadero, y que si él responde «Da», entonces X tiene que ser falso. Así la oración «mágica» O es: «Usted es del tipo 1» (O «Usted responde "Bal" a la pregunta de si 2+2=4»).
Demostración: O es la oración: «Usted es del tipo 1»; X es la oración cuya verdad tú deseas averiguar. La pregunta que tú planteas es si O es equivalente a X. Supongamos que tú obtienes la respuesta «Bal». Hemos de demostrar que entonces X tiene que ser verdadera.
Caso uno: «Bal» significa sí. En este caso sabemos dos cosas: (i) tipo 1 = formal; (ii) el hablante, al decir «Bal», está aseverando que O es equivalente a X.
Sub-caso la: El hablante es del tipo l. Entonces el hablante es formal y hace enunciados verdaderos. Entonces O es realmente equivalente a X y O es también ver-
dadera (puesto que el hablante es del tipo 1). Por lo tanto X es verdadera.
Sub-caso lb: El hablante es del tipo 2. Entonces es informal y hace enunciados falsos. Puesto que asevera que O es equivalente a X, entonces O no es equivalente a X. Pero O es falsa (puesto que el hablante no es del tipo 1), y X no es equivalente a O, de modo que X es verdadera.
Caso dos: «Bal» significa no. En este caso sabemos dos cosas: (i) tipo 1 = informal; (ii) el hablante está aseverando que O no es equivalente a X.
Sub-caso 2a: El hablante es del tipo l. Entonces es informal y hace enunciados falsos. Asevera falsamente que O no es equivalente a X; por lo tanto O es realmente equivalente a X puesto que O es verdadera. Por consiguiente X es verdadera.
Sub-caso 2b: El hablante es del tipo 2. Entonces es formal y hace enunciados verdaderos. Por lo tanto O no es equivalente a X (puesto que el hablante asevera que no lo es), sino que O es falsa; por consiguiente X tiene que ser de nuevo verdadera.
Hemos mostrado que una respuesta «Bab significa que X es verdadera. Podríamos llevar a cabo una ronda similar de razonamiento para demostrar que una res- puesta «Da» significa que X es falsa. Sin embargo, podemos tomar el atajo siguiente:
Supóngase que el transilvano en cuestión responde «Da». Ahora bien, responder «Da» a esta pregunta es realmente lo mismo que responder «Bal» a la pregunta: « ¿Es usted del tipo 1 si y sólo si X es falsa?» (Puesto que para cualesquiera dos enunciados Y y Z, el enunciado de qué Y es equivalente a Z es precisamente lo contrario del enunciado de qué Y es equivalente a no Z). Así él habría respondido «Bal» si le hubieses preguntado: « ¿Es usted del tipo 1 si y sólo si X es falsa?» Puesto que él habría respondido «Bal» a esto, entonces se sigue (por la demostración anterior) que X es realmente falsa.
31.RESPUESTA A LAS PREGUNTAS SOBRE INCONSISTENCIAS
(l) y (2) En dos ocasiones Drácula dijo: «Oh, sí.» Un transilvano de élite no usa nunca la palabra «Sí».
(3) Cuando el transilvano fortachón y de aspecto brutal me dijo que no podía abandonar el castillo sin permiso del anfitrión, ¿por qué tenía que haberlo creído?
(4) Cuando el anfitrión me envió el mensaje «Naturalmente, no», ¿por qué tenía que haberlo creído? No sabía aún que el anfitrión era un vampiro loco y que hacía enunciados correctos.
A pesar de lo que tanto Bram Stoker como yo os he contado, tengo graves razones para dudar de que el Conde Drácula hubiese sido alguna vez efectivamente aniquilado. Por lo tanto decidí ir a Transilvania para investigar la verdad por mí mismo. Mis propósitos eran: (1) averiguar si el Conde Drácula vivía aún; (2) en el caso de que hubiera sido aniquilado deseaba ver sus verdaderos restos; (3) en el caso de que viviese aún, deseaba tener un encuentro con él. En la época en que estuve en Transilvania aproximadamente la mitad de sus habitantes eran humanos y la mitad eran vampiros. Los humanos y los vampiros son indistinguibles en su apariencia externa, pero los humanos (al menos en Transilvania) dicen siempre la verdad, mientras que los vampiros mienten siempre. Lo que complica enormemente la situación es que la mitad de los habitantes de Transilvania están totalmente locos y completamente engañados por lo que respecta a sus creencias ----creen que todas las proposiciones verdaderas son falsas y que todas las proposiciones falsas son verdaderas. La otra mitad está completamente cuerda y sabe qué proposiciones son verdaderas y qué proposiciones son falsas. Así pues, los habitantes de Transilvania son de cuatro tipos: (1) humanos cuerdos; (2) humanos locos; (3) vampiros cuerdos, y (4) vampiros locos. Todo lo que un humano cuerdo dice es verdadero; todo lo que un humano loco dice es falso; todo lo que un vampiro cuerdo dice es falso, y todo lo que un vampiro loco dice es verdadero. Por ejemplo, un humano cuerdo dirá que dos más dos es igual a cuatro; un humano loco dirá que no es igual a cuatro (puesto que él cree realmente que no lo es); un vampiro cuerdo dirá también que no es igual a cuatro (puesto que él sabe que es igual a cuatro y por tanto miente), y un vampiro loco dirá que es igual a cuatro (puesto que él cree que no es igual a cuatro y, por lo tanto, miente sobre lo que él cree).
1. Me encontré un día con un transilvano que dijo: «Soy humano o estoy cuerdo.» ¿De qué tipo era exactamente?
2. Otro habitante dijo: «No soy un humano cuerdo.» ¿De qué tipo era?
3. Otro habitante dijo: «Soy un humano loco.» ¿Es éste del mismo tipo que el anterior habitante?
4. Me encontré una vez un habitante y le pregunté: « ¿Eres un vampiro loco?» Él respondió: «Sí» o «No», y supe de qué tipo era. ¿De qué tipo era?
5. Me encontré una vez un transilvano que dijo: «Soy un vampiro.» ¿Puede inferirse si es humano o vampiro? ¿Puede inferirse si está cuerdo?
6. Supóngase que un transilvano dice: «Estoy loco.»
(a) ¿Puede inferirse si está cuerdo?
(b) ¿Puede inferirse si es humano o vampiro?
7. La inversa de un enunciado: «Si P entonces Q» es el enunciado «Si Q entonces P». Ahora bien, existen dos enunciados X e Y que son inversos mutuamente y tales que:
(1) Ninguno de los dos enunciados es deducible del otro.
(2) Si un transilvano hace cualquiera de los dos enunciados
se sigue que el otro debe ser verdadero.
¿Puedes proporcionar estos dos enunciados?
8. Dado un enunciado X, supóngase que un transilvano cree que él cree X. ¿Se sigue que X ha de ser verdadero? Supóngase que él no cree que cree X. ¿Se sigue que X ha de ser falso?
9. Supóngase que un transilvano dice: «Yo creo x.» Si es humano, ¿se sigue que X tiene que ser verdadero? Si es vampiro, ¿se sigue que X tiene que ser falso? ¡La respuesta a este problema constituye un principio general importante!
10. Me encontré una vez con dos transilvanos, A y B. Pregunté a A: « ¿Es B humano?» A replicó: «Eso creo.» Entonces pregunté a B: « ¿Crees que A es humano?» ¿Qué respuesta dio B (suponiendo que respondió «Sí» o «No»)?
11. Definamos a un transilvano como formal si es humano cuerdo o un vampiro loco y como informal si es un humano loco o un vampiro cuerdo. La gente formal es aquella que hace enunciados verdaderos; la gente informal es aquella que hace enunciados falsos (ya sea sin malicia o por engaño). Supongamos que preguntas a un transilvano: « ¿Eres formal?» y él te da un «Sí» o un «No» como respuesta. ¿Puedes determinar a partir de esta respuesta si él es o no un vampiro? ¿Puedes determinar si él está cuerdo?
12. Supongamos, en lugar de eso, que le preguntas: « ¿Crees que eres formal?» Él te da un «Sí» o un «No» como respuesta. ¿Puedes determinar ahora si él es un vampiro? ¿Puedes determinar si él está cuerdo?
B. ¿VIVE AÚN EL CONDE DRÁCULA?
13. Recordemos que la primera cuestión importante que deseaba resolver era la de si el Conde Drácula vivía aún. Bien, pregunté a un transilvano sobre el asunto y dijo: «Si yo soy humano, entonces el Conde Drácula vive aún.» ¿Puede determinarse si Drácula vive aún?
14. Otro transilvano dijo: «Si estoy cuerdo, entonces el Conde Drácula vive aún.» ¿Puede determinarse si Drácula vive aún?
15. Otro dijo: «Si soy un humano cuerdo, ¿entonces el Conde Drácula vive aún»? ¿Puede determinarse si Drácula vive?
16. Supóngase que un transilvano ha dicho: «Si yo soy un humano cuerdo o un vampiro loco, entonces el Conde Drácula vive aún» ¿Podría determinarse entonces si Drácula vive aún?
17. ¿Hay algún enunciado, que un transilvano pudiera hacer, y que te convenciese de que Drácula vive aún y también de que el enunciado es falso?
18. ¿Hay algún enunciado, que un transilvano pudiera hacer, tal que te convenciese de que Drácula vive aún y del cual no pudieses decir si el enunciado es verdadero o falso?
19. Supóngase que un transilvano hace los dos enunciados siguientes:
(1) Estoy cuerdo.
(2) Creo que el Conde Drácula está muerto.
¿Podría inferirse si Drácula vive?
20. Supóngase que un transilvano hace los dos enunciados siguientes:
(1) Soy humano.
(2) Si soy humano entonces el Conde Drácula vive aún.
¿Podría determinarse si Drácula vive aún?
C. ¿QUÉ PREGUNTA DEBE HACERSE?
21. ¿Puedes con una pregunta obtener información de un transilvano sobre si él es o no un vampiro?
22. ¿Puedes con una pregunta obtener información de un transilvano sobre si él está o no cuerdo?
23. ¿Qué pregunta podrías hacerle a un transilvano que le forzase a responder «Sí», independientemente de a cuál de los cuatro tipos pertenezca?
24. ¿Puedes con una pregunta obtener información de un transilvano sobre si el Conde Drácula vive aún?
D. EN EL CASTILLO DE DRÁCULA
Si hubiera tenido ojo y me hubiera dado cuenta de la respuesta al último problema me hubiera evitado un sinfín de desgracias. Pero estaba entonces tan aturullado, tan aturdido por esta clasificación entrecruzada de cuerdos y locos sobrepuesta a la de los que mienten y dicen verdad, que no podía pensar correctamente. Además, estaba un poco nervioso al estar en compañía de transilvanos, algunos de los cuales eran vampiros. ¡Y, con todo, me esperaba aún una situación más desconcertante! Aún no sabía si el Conde Drácula estaba vivo. Me parecía que solamente podría encontrar la respuesta si podía llegar al Castillo de Drácula. Por aquel entonces bien poco me daba cuenta de que esto, por razones que más adelante descubrirás, solamente complicaría el asunto. Sabía perfectamente dónde está el Castillo de Drácula y sabía que allí había mucha actividad. Sabía también que el castillo tenía un anfitrión, pero no sabía si este anfitrión era el Conde Drácula (dejando de lado la cuestión de si Drácula estaba aún vivo). Ahora bien, la admisión en el Castillo de Drácula era solamente mediante invitación, y las invitaciones se daban solamente a la flor y nata de la sociedad transilvana. Por lo tanto tuve que invertir varios meses de ardua escalada social antes de que me encontrase en una posición lo suficientemente elevada para ser invitado. El día llegó finalmente y recibí una invitación para asistir a una fiesta de varios días y noches de duración en el Castillo de Drácula.
Fui con grandes esperanzas y en seguida recibí mi primer chasco. Poco tiempo después de entrar en el castillo, me di cuenta de que había olvidado coger, en medio de mi apresuramiento, mi cepillo de dientes, un ajedrez de bolsillo y algún material de lectura. Así pues, me dispuse a dirigirme hacia la puerta para volver a mi hotel, pero fui interceptado por un transilvano fortachón y de aspecto brutal que me dijo educadamente, pero con gran firmeza, que una vez que una persona entra en el Castillo de Drácula, no puede en ningún caso abandonarlo sin permiso del anfitrión. «Entonces», dije yo, «me gustaría hablar con el anfitrión». «Por ahora esto es, absolutamente imposible», me informó, «pero yo puedo recoger un mensaje para él, si usted quiere». Bien, envié al anfitrión un mensaje preguntándole si podía abandonar el castillo durante un momento. La respuesta llegó rápidamente; era breve y además nada tranquilizadora. Decía: «Naturalmente, No.»
En consecuencia, estaba prisionero en el Castillo del Conde Drácula. Bien, ¿qué podría hacer yo? Obviamente, por el momento nada; así, a la manera realmente propia del Zen, decidí disfrutar de la noche en aquello que merecía la pena y entrar en acción en cuanto la primera oportunidad se presentase. El baile de aquella noche fue lo más magnífico que haya visto o leído alguna vez. Hacia las dos de la mañana decidí retirarme y se me mostró mi habitación. Asombrosamente, a pesar del infinito peligro en el que estaba, dormí profundamente. Me desperté hacia el mediodía del día siguiente y, después de una buena comida, me mezclé con los huéspedes, esperando obtener más información. Entonces recibí mi segunda sorpresa. Toda la gente (excepto yo mismo) pertenecía a un pequeño subgrupo de transilvanos de élite que en lugar de usar las palabras «Sí» y «No», usaban las palabras «Bal» y «Da» -¡precisamente del mismo modo que en la isla de los zombis! Así pues, me encontraba metido en una situación rodeado de los denominados «transilvanos de élite», cada uno de los cuales era o humano o vampiro, estaba loco o estaba cuerdo y, para remachar todo esto, no sabía lo que significaban las palabras «Bal» y «Da». De este modo las complejidades de los primeros transilvanos no pertenecientes a la «élite» a los que había interrogado fuera del castillo se combinaban con las complejidades de la isla de los zombis. Parecía que con mi llegada al castillo había pasado de Guatemala a Guatapeor.
Bien, al darme cuenta de esto, temo que perdí toda mi compostura propia del Zen y estuve absolutamente deprimido durante el resto del día. Me retiré temprano, sin preocuparme tan siquiera por ver la segunda noche de fiestas. Me encontraba rendido, incapaz de dormir o de pensar. Entonces, de repente, me sobresalté. Me di cuenta de que las nuevas complicaciones Bal-Da eran en realidad fácilmente manejables. Emocionadamente, tomé mi pluma y mi cuaderno de notas y comencé de inmediato a resolver los problemas siguientes:
25. Con una pregunta (susceptible de ser respondida por «Bal» o «Da») podía averiguar de alguien del castillo si era o no vampiro.
26. Con una pregunta podía averiguar SI estaba cuerdo.
27. Con una pregunta podía averiguar lo que significaba «Bal».
28. Si lo desease podría plantear a cualquiera del castillo una pregunta tal que le forzase a responder «Bal».
29. ¡Con una pregunta podía averiguar si Drácula vive! ¿Cuáles son esas preguntas?
E. EL ENIGMA DE DRÁCULA
¡Llegamos ahora al punto culminante! Al día siguiente obtuve toda la información que deseaba. Drácula estaba realmente vivo y era, de hecho, mi anfitrión. Ante mi sorpresa, averigüé también que Drácula era un vampiro loco y, por lo tanto, todo enunciado que él hacía era verdadero. Pero, ¿de qué me servía saber esto, ahora que estaba a merced del destino y corría el riesgo de ser convertido en un vampiro y perder mi alma para siempre? Después de algunos días concluyeron los festejos y se permitió marchar a todos los huéspedes excepto a mí. De modo que, virtualmente solo en lo que ahora era un lúgubre y macabro castillo, era prisionero de un anfitrión con el que hasta ahora no había tenido ningún contacto.No tuve que esperar mucho tiempo. Poco antes de medianoche se me sacó groseramente de un sueño profundo y fui escoltado, de manera educada pero firme, a las habitaciones privadas del Conde Drácula que, evidentemente, había solicitado tener una entrevista conmigo. Mi guía marchó y he aquí que me encontré frente al mismísimo Conde Drácula. Después de lo que me pareció una eternidad de silencio, Drácula dijo:
«¿Sabe usted que yo siempre doy a mis víctimas alguna posibilidad de escapar?»
«No», respondí sinceramente, «no sabía esto».
«Oh», replicó Drácula, «realmente no podría pensar en privarme de este gran placer».
Por alguna razón, no acabó de gustarme el tono de voz con el que dijo esto: tenía un cierto sabor a arrogancia.
«Usted verá», continuó Drácula, «yo le planteo a mi víctima un enigma. Si en un cuarto de hora adivina correctamente la respuesta, lo dejo en libertad. Si no logra adivinarla, o si la adivina mal, le ataco y se convierte en un vampiro para siempre.
«¿En un vampiro cuerdo o en uno loco?», pregunté yo inocentemente.
Drácula se volvió lívido de rabia. «Sus chistes no tienen ninguna gracia», gritó. « ¿Se da usted cuenta completamente de la gravedad de la situación? No suelo estar de humor para bromas frívolas. Alguna cosa más de este tipo y no le daré ni siquiera la oportunidad usual.»
Asustado a medida que iba diciendo todo esto, mi reacción inmediata fue ante todo de curiosidad respecto al hecho de por qué Drácula estaría dispuesto a arriesgarse a perder una víctima. « ¿Qué es lo que le mueve a esta generosidad deportiva?», le pregunté.
«¿Generosidad?», dijo Drácula con un aire desdeñoso. «No tengo ni un solo átomo de generosidad en mi cuerpo. Se trata solamente de que el enorme placer sádico que obtengo al observar a mi víctima retorcerse, escribir, convulsionarse bajo esta angustiosa gimnasia mental, compense con creces la posibilidad infinitesimal de que la pierda.
Esta palabra «infinitesimal» no era demasiado consoladora, que digamos.
«Oh sí», continuó Drácula, «jamás hasta ahora he perdido una víctima; como usted verá, no estoy corriendo demasiado riesgo».
«Muy bien», dije, dándome a mí mismo ánimos de la mejor manera que pude, « ¿en qué consiste el enigma?».
30. Dracula me miró examinándome durante algún tiempo. «Sus preguntas a mis huéspedes eran muy inteligentes -sí, sí, lo sé todo sobre ellas. Realmente eran muy inteligentes, pero no tan inteligentes como usted podría pensar. Usted tenía que haber diseñado una pregunta separada para cada fragmento de información que deseaba obtener; usted no dio nunca con un principio simple y unificador que le hubiera evitado a usted mucho trabajo mental. Existe una oración O que tiene la propiedad casi mágica de que, dada cualquier información que usted desee saber, dada cualquier oración X cuya verdad usted desee averiguar, todo lo que usted tiene que hacer es preguntar a cualquiera que esté en este castillo: "¿Es O equivalente a X?". Si usted obtiene como respuesta "Bal", X tiene que ser verdadera; si usted obtiene "Da" como respuesta, X tiene que ser falsa. Así, por ejemplo, si usted desease averiguar si el hablante es un vampiro, tendría que preguntar: "¿Es O verdadera si y sólo si usted es un vampiro?" Si usted desease averiguar si está cuerdo, no tendría que preguntar más que: "¿Es O verdadera si y sólo si usted está cuerdo?" Para haber averiguado lo que significa "Bal", usted sólo habrá tenido que preguntar: "¿Es O verdadera si y sólo si 'Bal' significa sí?" Para averiguar si yo vivía aún, usted podría haber preguntado: "¿Es O verdadera si y sólo si Drácula vive aún?", etc.»
« ¿Cuál es esa oración O?», pregunté yo con enorme curiosidad. «Ah», replicó Drácula, «es asunto suyo el averiguarlo. ¡Este es su enigma!».
Al decir esto Drácula se puso en pie para abandonar la habitación. «Tiene usted quince minutos. Haría bien en discurrir con ahínco. Los riesgos son muy elevados.»
¡Verdaderamente eran muy elevados! Aquellos fueron los quince minutos más penosos de mi vida. Estaba tan paralizado por el miedo que tenía la mente en blanco. Estaba seguro de que Drácula me estaba observando secretamente desde algún lugar oculto. Cuando habían transcurrido los quince minutos Drácula volvió triunfantemente y comenzó a revolotear a mí alrededor con los colmillos hechos agua. Se me fue
acercando más y más, hasta que le tuve prácticamente encima. Entonces de repente levanté la mano y grité:
«Naturalmente, la oración O es... » ¿Cuál es la oración O que me salvó?
Epílogo
El shock recibido por el pobre Drácula ante el hecho de que yo hubiese resuelto su enigma fue tan grande que pereció en el acto, y pocos minutos después se desintegró convertido en ceniza. Ahora cuando alguien me pregunta, « ¿Vive aún el Conde Drácula?», puedo responder veraz y adecuadamente: «Bal.»
31. Existen cuatro inconsistencias menores en esta historia. ¿Podrías detectarlas?
SOLUCIONES
1. Su enunciado es o verdadero o falso. Supongamos que es falso. Entonces no es ni humano ni está cuerdo; por lo tanto tiene que ser un vampiro loco. Pero los vampiros locos hacen solamente enunciados verdaderos, y tenemos una contradicción. Por lo tanto, su enunciado es verdadero. Los únicos que hacen enunciados verdaderos son los humanos cuerdos o los vampiros locos. Si él fuese un vampiro loco, entonces tendría que ser o humano o cuerdo, y su enunciado sería falso. Pero sabemos que el enunciado es verdadero. Por lo tanto tiene que ser un humano cuerdo.
2. Tiene que ser un vampiro loco.
3. No, esta vez es un vampiro cuerdo.
4. Un humano cuerdo respondería «No» a esta pregunta, y cualquiera de los otros tres tipos respondería «Sí». Si hubiese obtenido como respuesta «Sí», no sabría de qué tipo era. Pero he dicho que lo supe, por lo tanto no respondió «Sí». De este modo él respondió «No», de donde se sigue que tiene que ser un humano sano.
5. No puede inferirse si es humano o vampiro, pero se sigue que está loco. Un humano cuerdo no diría que es un vampiro y un vampiro cuerdo sabría que es un vampiro y entonces mentiría y diría que es humano. Por otra parte, un humano loco creería, y por lo tanto diría, que es un vampiro, y un vampiro loco creería que era humano y entonces diría que es un vampiro.
6. Esta vez todo lo que se sigue es que él es un vampiro. Un humano cuerdo no podría decir que está loco, y un humano loco creería que está cuerdo y, al ser humano, no podría decir que está loco.
7. Estoy seguro de que pueden encontrarse muchos pares de enunciados de este tipo; el par que tengo presente es éste:
X: Si estoy cuerdo, entonces soy humano.
Y: Si soy humano, entonces estoy cuerdo.
Supongamos que el hablante asevera X. Demostraremos que Y tiene que ser verdadero, esto es, que si es humano, entonces está cuerdo. Bien, supongamos que es humano. Entonces es verdad que si está cuerdo entonces es humano (puesto que es humano, punto). Esto significa que X es verdadero. Entonces el hablante ha de estar cuerdo, puesto que los humanos locos no hacen enunciados verdaderos. Por lo tanto, si es humano, está cuerdo; de donde Y es verdadero. Inversamente, supongamos que el hablante asevera Y. Hemos de mostrar que X es verdadero. Bien, supongamos que está cuerdo. Entonces Y ha de ser verdadero. De aquí se sigue que el hablante es humano (puesto que los vampiros cuerdos no hacen enunciados verdaderos). De este modo, es humano (bajo la suposición de que está cuerdo). Por lo tanto si está cuerdo entonces es humano y así el enunciado X es verdadero.
8. La respuesta a ambas preguntas es «Sí». Supongamos que un transilvano cree un cierto enunciado X. Entonces, desde luego, no se sigue que X tenga que ser verdadero, puesto que puede estar loco. Pero si cree que cree X, entonces X tiene que ser verdadero. Pues supongamos por un lado que está cuerdo. Puesto que cree el enunciado de que cree que X, entonces el enunciado de que cree que X tiene que ser verdadero. Por lo tanto cree de hecho que X; y, puesto que está cuerdo, X tiene que ser verdadero. Supongamos por otro lado que él está loco. Puesto que él cree el enunciado de que él cree que X, entonces el enunciado de que él cree que X tiene que ser falso. Por lo tanto no cree realmente que X (solamente piense que lo cree). Puesto que no cree que X, y está loco, entonces de nuevo X tiene que ser verdadero. Así pues, hemos mostrado que si un transilvano cree que cree X, entonces X tiene que ser verdadero independientemente de si está cuerdo o loco. Similarmente puede mostrarse que si no cree que él cree que X, entonces X tiene que ser falso. Dejamos esto para el lector.
9. De nuevo ambas respuestas son «Sí» --esto es un corolario de la solución al problema precedente. Supongamos que A asevera que cree que X. Supongamos que A es humano. Entonces cree lo que asevera, de modo que cree que X. Entonces, como hemos visto en la solución al problema 174, X tiene que ser verdadero, esté A cuerdo o loco. Similarmente, supongamos que A es un vampiro. Entonces no cree lo que asevera, de modo que no cree que cree que X. Así, X tiene que ser falso, esté A cuerdo o loco.
10. A asevera que cree que B es humano. B asevera o que cree que A es humano, o asevera que cree que A no es humano. Si lo último fuera el caso, obtendríamos la contradicción siguiente. Tenemos:
(1) A dice que cree que B es humano.
(2) B dice que cree que A no es humano.
Supongamos que A es humano. Por lo tanto es una contradicción el que A es humano. Supongamos que A es un vampiro. Entonces a partir de (1), B no es humano (por el mismo principio), de modo que B es un vampiro. Entonces a partir de (2) se sigue (por el mismo principio) que A es humano. Esto es de nuevo una contradicción. Por lo tanto, si B hubiese respondido «No» tendríamos una contra- dicción. Por lo tanto B respondió «Sí».
11. No puede inferirse nada en absoluto, puesto que todos los transilvanos responderán «Sí» a esta pregunta. El lector puede comprobar esto por sí mismo.
12. Este es un caso diferente; a partir de la respuesta no puede inferirse si el hablante es humano o vampiro, pero puede inferirse si está cuerdo. Si está cuerdo, entonces responderá «Sí»; si está loco entonces responderá «No». Dejamos la demostración al lector.
13. No, no puede determinarse. Podría suceder que él fuese un humano cuerdo y que Drácula viviese, o podría suceder que fuese un vampiro loco y Drácula estuviese muerto. (De hecho, si es un vampiro loco, entonces Drácula podría estar vivo o muerto.)
14. De nuevo la respuesta es «No».
15. La respuesta es todavía «No». Él podría ser, por ejemplo, un vampiro loco, en cuyo caso Drácula podría estar o no vivo.
16. Sí, esta vez se seguiría que Drácula está vivo. Usemos la terminología del problema 177 y reformulemos el enunciado del nativo de la siguiente manera: «Si soy formal entonces Drácula vive.» Hemos demostrado en el capítulo 8 (véanse las soluciones a los problemas 109-112) que si un nativo de una isla de caballeros y escuderos dice: «Si yo soy un caballero entonces tal y tal», entonces el hablante tiene que ser un caballero y el tal y tal tiene que ser verdadero. Similarmente, si un habitante de Transilvania dice, «Si yo soy formal entonces tal y tal», entonces tiene que ser formal y el tal y tal tiene que ser verdadero. La demostración es realmente la misma -solamente hay que sustituir la expresión «un caballero» por «formal».
17. Un enunciado que funcionaria es: «Yo soy informal y Drácula está muerto.» Dejamos la demostración al lector. (Consejo: poner primero de manifiesto que el hablante no es formal.)
18. Una oración que hace esto es la siguiente: «Yo soy formal si y sólo si Drácula vive aún.» En la solución al problema 122 del capítulo 8 demostramos que si un habitante de una isla de caballeros y escuderos dice: «Yo soy un caballero si y sólo si tal-y-tal», entonces el tal-y-tal tiene que ser verdadero (pero no es posible decir si el hablante es caballero o escudero). Similarmente, si un transilvano dice: «Yo soy formal si y sólo si tal-y-tal», entonces el tal-y-tal tiene que ser verdadero independientemente de si el hablante es formal o no. La demostración es realmente la misma -solamente hay que sustituir «caballero» por «formal». Existen varios enunciados distintos que también funcionarían. Por ejemplo: «Creo que el enunciado de que Drácula vive es equivalente al enunciado de que yo soy humano.» Otro ejemplo, más bien divertido sería: «Creo que si alguien me preguntase si Drácula vive aún, entonces respondería "Si".»
19. Sí, se seguiría que Drácula tiene que estar muerto. A partir de (1) podemos inferir que el hablante es humano, puesto que un vampiro cuerdo sabría que está cuerdo y por 10 tanto dice que está loco, y un vampiro loco creería que está cuerdo y entonces diría que está loco. Por lo tanto el hablante es humano. Recordemos el principio establecido en el problema 175: cuando un humano dice que él cree algo, entonces ese algo tiene que ser verdadero (independientemente de si está cuerdo o está loco). Bien, nosotros sabemos que el hablante es humano y que dice que cree que Drácula está muerto. Por 10 tanto el Conde Drácula tiene que estar muerto.
20. A partir de su primer enunciado «Yo soy humano», se sigue, no que él sea humano, sino que tiene que estar cuerdo. (Un humano loco no sabría que él era humano, y un vampiro loco pensaría que es humano y, por lo tanto, diría que es un vampiro.) Ahora que sabemos que está cuerdo, vamos a demostrar que es humano. Supongamos que él fuese un vampiro. Entonces es falso que es un humano, y puesto que un enunciado falso implica cualquier enunciado, entonces su segundo enunciado -«Si soy humano entonces Drácula vive aún»- tendrá que ser verdadero. Pero un vampiro cuerdo no puede hacer enunciados verdaderos, de modo que tenemos una contradicción. Por lo tanto no puede ser un vampiro; tiene que ser un humano. Ahora sabemos que él es, a la vez, humano y cuerdo, de modo que hace enunciados verdaderos. Por lo tanto, su segundo enunciado, a saber: que si él es humano entonces el Conde Drácula vive aún, tiene que ser verdadero. Pero él es humano. Por lo tanto Drácula vive aún.
21. Pregúntale solamente si está cuerdo. Un humano (esté cuerdo o no) responderá «Sí» y un vampiro responderá «No».
22. Pregúntale solamente si es humano. Un transilvano sano (sea humano o vampiro) dirá «Sí» y un transilvano loco dirá «No». Para el puñado de problemas siguientes diré sólo cuáles son las preguntas. En este momento debes tener la suficiente experiencia para ser capaz de demostrar por ti mismo que esas preguntas valen para tus propósitos.
23. Una pregunta que vale es: « ¿Cree usted que es humano»? Todos los transilvanos tienen que responder «SÍ)) a esta pregunta. No se trata de que todos ellos crean que son humanos (sólo los humanos cuerdos y los vampiros locos creen esto), sino que todos los nativos dirán que lo creen. Otra pregunta que valdría es: « ¿Es usted formal?» Todos los transilvanos afirmarían que son formales.
24. Cualquiera de estas dos preguntas valdría:
(1) « ¿El enunciado de que usted es formal es equivalente al enunciado de que Drácula está vivo?»
(2) « ¿Cree usted que el enunciado de que usted es humano es equivalente al enunciado de que Drácula está vivo?»
25. Pregúntale: « ¿La respuesta correcta a la pregunta de si usted está cuerdo es "Bal"?» Si contesta «Bal» entonces es humano; si responde «Da», entonces es vampiro.
26. Pregúntale: « ¿La respuesta correcta a la pregunta sobre si usted es humano es "Bal"?» Si él responde «Bal», entonces' está cuerdo; si responde «Da», entonces está loco.
27. Pregúntale: « ¿Cree usted que es humano?» Sea cual sea la palabra que él responda tiene que significar sí. Alternativamente, pregúntale: « ¿Es usted formal?»
28. Una pregunta que funcionaría es: « ¿Es "Bal" la respuesta correcta a la pregunta de si usted es formal?» (Recuerdo que ser formal significa ser o un humano sano o un vampiro loco.) Otra pregunta que funciona: « ¿Es usted formal si y sólo si "Bal" significa si?» Cualquiera de estas preguntas forzará a responder con un «Bal», como puede demostrarse esencialmente de la misma manera que en el problema 161 del capítulo 11 (excepto en que ser formal juega ahora el papel jugado por ser humano).
29. Cualquiera de las siguientes preguntas realizará la tarea.
(1) ¿Cree usted que «Bal» es la respuesta correcta a la pregunta de si el enunciado de que usted es humano es equivalente al enunciado de que Drácula está vivo?
(2) ¿, Es «Bal» la respuesta correcta a la pregunta de si el enunciado de que usted es formal es equivalente al enunciado de que Drácula está vivo?
Una solución mucho más simple y más elegante es la proporcionada por el principio unificador que se explica en el número 30.
30. EL PRINCIPIO UNIFICADOR
Definamos un transilvano de élite de tal modo que sea del tipo 1 si responde «Bal» a la pregunta: « ¿Es 2 más 2 igual a 4?» Esto significa, naturalmente, que dada cualquier otra pregunta cuya respuesta correcta sea «Sí», un transilvano del tipo 1 responderá «Bal» a esta pregunta. Definiremos un transilvano de élite de tal modo que sea del tipo 2 si no es del tipo 1. Esto significa que dado cualquier enunciado verdadero X (como 2 más 2 igual a cuatro), si se le pregunta a un transilvano del tipo 2 si X es verdadero, éste responderá «Da». Observemos inmediatamente que si «Bal» significa sí, entonces las personas del tipo 1 son aquellas que son formales, y las personas del tipo 2 son aquellas que son informales. Si «Bal» significa no, entonces tenemos lo contrario (tipo 1 = informal y tipo 2 = formal). Ahora bien, el principio unificador es éste: para averiguar respecto de un enunciado X dado si X es verdadero, sólo tienes que preguntar a un transilvano de élite si X es equivalente al enunciado de que él (el transilvano al que le preguntas) es del tipo 1. Puedes parafrasear tu pregunta de la siguiente manera: « ¿Es X verdadero si y sólo si usted es del tipo l?» Demostraremos que si él responde «Bal», entonces X tiene que ser verdadero, y que si él responde «Da», entonces X tiene que ser falso. Así la oración «mágica» O es: «Usted es del tipo 1» (O «Usted responde "Bal" a la pregunta de si 2+2=4»).
Demostración: O es la oración: «Usted es del tipo 1»; X es la oración cuya verdad tú deseas averiguar. La pregunta que tú planteas es si O es equivalente a X. Supongamos que tú obtienes la respuesta «Bal». Hemos de demostrar que entonces X tiene que ser verdadera.
Caso uno: «Bal» significa sí. En este caso sabemos dos cosas: (i) tipo 1 = formal; (ii) el hablante, al decir «Bal», está aseverando que O es equivalente a X.
Sub-caso la: El hablante es del tipo l. Entonces el hablante es formal y hace enunciados verdaderos. Entonces O es realmente equivalente a X y O es también ver-
dadera (puesto que el hablante es del tipo 1). Por lo tanto X es verdadera.
Sub-caso lb: El hablante es del tipo 2. Entonces es informal y hace enunciados falsos. Puesto que asevera que O es equivalente a X, entonces O no es equivalente a X. Pero O es falsa (puesto que el hablante no es del tipo 1), y X no es equivalente a O, de modo que X es verdadera.
Caso dos: «Bal» significa no. En este caso sabemos dos cosas: (i) tipo 1 = informal; (ii) el hablante está aseverando que O no es equivalente a X.
Sub-caso 2a: El hablante es del tipo l. Entonces es informal y hace enunciados falsos. Asevera falsamente que O no es equivalente a X; por lo tanto O es realmente equivalente a X puesto que O es verdadera. Por consiguiente X es verdadera.
Sub-caso 2b: El hablante es del tipo 2. Entonces es formal y hace enunciados verdaderos. Por lo tanto O no es equivalente a X (puesto que el hablante asevera que no lo es), sino que O es falsa; por consiguiente X tiene que ser de nuevo verdadera.
Hemos mostrado que una respuesta «Bab significa que X es verdadera. Podríamos llevar a cabo una ronda similar de razonamiento para demostrar que una res- puesta «Da» significa que X es falsa. Sin embargo, podemos tomar el atajo siguiente:
Supóngase que el transilvano en cuestión responde «Da». Ahora bien, responder «Da» a esta pregunta es realmente lo mismo que responder «Bal» a la pregunta: « ¿Es usted del tipo 1 si y sólo si X es falsa?» (Puesto que para cualesquiera dos enunciados Y y Z, el enunciado de qué Y es equivalente a Z es precisamente lo contrario del enunciado de qué Y es equivalente a no Z). Así él habría respondido «Bal» si le hubieses preguntado: « ¿Es usted del tipo 1 si y sólo si X es falsa?» Puesto que él habría respondido «Bal» a esto, entonces se sigue (por la demostración anterior) que X es realmente falsa.
31.RESPUESTA A LAS PREGUNTAS SOBRE INCONSISTENCIAS
(l) y (2) En dos ocasiones Drácula dijo: «Oh, sí.» Un transilvano de élite no usa nunca la palabra «Sí».
(3) Cuando el transilvano fortachón y de aspecto brutal me dijo que no podía abandonar el castillo sin permiso del anfitrión, ¿por qué tenía que haberlo creído?
(4) Cuando el anfitrión me envió el mensaje «Naturalmente, no», ¿por qué tenía que haberlo creído? No sabía aún que el anfitrión era un vampiro loco y que hacía enunciados correctos.
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